Bayes' sætning er en matematisk formel til bestemmelse af betinget sandsynlighed. Inden for finans kan Bayes' teorem bruges til at vurdere risikoen ved at låne penge ud til potentielle låntagere. Anvendelsen af Bayes' teorem er udbredt og er ikke begrænset til det finansielle område. Lad os så se, hvad Bayes' sætning er, hvordan det beregnes, og hvordan man anvender det gennem et par eksempler.
Hvad er Bayes' sætning
Bayes' sætning, opkaldt efter den britiske matematiker Thomas Bayes fra det 18. århundrede, er en matematisk formel til bestemmelse af betinget sandsynlighed. Betinget sandsynlighed er sandsynligheden for, at et udfald vil indtræffe, givet om et tidligere udfald er indtruffet under lignende omstændigheder. Bayes' sætning tillader eksisterende forudsigelser eller teorier at blive revideret (opdatering af sandsynligheder) baseret på nye eller yderligere beviser. Inden for finans kan Bayes' teorem bruges til at vurdere risikoen ved at låne penge ud til potentielle låntagere. Sætningen kaldes også Bayes' regel eller Bayes' lov og er grundlaget for området for Bayesiansk statistik.
Hvad er Bayes' sætning til?
Anvendelsen af Bayes' teorem er udbredt og er ikke begrænset til det finansielle område. For eksempel kan Bayes' teorem bruges til at bestemme nøjagtigheden af medicinske testresultater ved at tage højde for sandsynligheden for, at en given person har en sygdom og testens overordnede nøjagtighed. Bayes' sætning er baseret på inkorporering af tidligere sandsynlighedsfordelinger for at generere posteriore sandsynligheder. I Bayesiansk statistisk inferens er den forudgående sandsynlighed sandsynligheden for, at en begivenhed vil indtræffe, før nye data indsamles. Med andre ord repræsenterer det den bedste rationelle vurdering af sandsynligheden for et bestemt udfald baseret på nuværende viden, før et eksperiment udføres.
Hvad er formlen for Bayes' sætning?
Posterior sandsynlighed er den reviderede sandsynlighed for, at en begivenhed vil indtræffe efter at have taget hensyn til ny information. Den bageste sandsynlighed beregnes ved at opdatere den forudgående sandsynlighed ved hjælp af Bayes' sætning. I statistiske termer er den posteriore sandsynlighed sandsynligheden for, at hændelse A vil indtræffe, hvis hændelse B har fundet sted. Således giver Bayes' sætning sandsynligheden for, at en hændelse vil indtræffe baseret på ny information, der er eller kan være relateret til den pågældende hændelse . Formlen kan også bruges til at bestemme, hvordan sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, kan blive påvirket af hypotetisk ny information, forudsat at den nye information viser sig at være sand.
Forklaring af formlen for Bayes' sætning.
Eksempler på brug af Bayes' sætning
Nedenfor vil jeg præsentere to eksempler på Bayes' sætning, hvor det første eksempel anvender Bayes' sætning til alkometertest. Det andet eksempel viser, hvordan formlen kan udledes i et aktieinvesteringseksempel ved hjælp af Nvidia (NVDA).
Numerisk eksempel på Bayes' sætning
Som et numerisk eksempel, lad os forestille os, at der er en alkometertest, der er 98 % nøjagtig, hvilket betyder, at den 98 % af tiden viser et sandt positivt resultat for en person, der har drukket alkohol, og 98 % af gangene viser et sandt resultat. negativt resultat for ikke-alkoholforbrugere. Lad os dernæst antage, at 0,5 % af mennesker indtager alkohol. Hvis en tilfældigt udvalgt person tester positiv for alkohol, kan følgende beregning foretages for at fastslå sandsynligheden for, at personen faktisk er alkoholforbruger.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76, XNUMX %.
Bayes' sætning viser, at selvom en person testede positiv i dette scenarie, er der ca. 80 % chance for, at de ikke vil indtage alkohol.
Udled formlen for Bayes' sætning
Bayes' sætning følger simpelthen af aksiomer for betinget sandsynlighed, som er sandsynligheden for en begivenhed givet, at en anden begivenhed har fundet sted. For eksempel kan et simpelt sandsynlighedsspørgsmål være: "Hvad er sandsynligheden for, at Nvidias aktiekurs falder?" Betinget sandsynlighed tager dette spørgsmål et skridt videre: "Hvad er sandsynligheden for, at NVDA-aktiekursen falder, givet at Nasdaq-indekset (NDAQ) faldt tidligere?" Den betingede sandsynlighed for A givet, at B er sket, kan udtrykkes som: Hvis A er: "Prisen på NVDA falder", så er P(NVDA) sandsynligheden for, at NVDA falder; og B er: "NDAQ er allerede gået ned", og P(NDAQ) er sandsynligheden for, at NDAQ er gået ned; så læses det betingede sandsynlighedsudtryk som "sandsynligheden for, at NVDA falder givet et fald i NDAQ er lig med sandsynligheden for, at prisen på NVDA vil falde, og NDAQ vil falde over sandsynligheden for et fald i NDAQ-indekset."
P(NVDA|NDAQ) = P(NVDA og NDAQ) / P(NDAQ) P(NVDA og NDAQ) er sandsynligheden for, at både A og B forekommer. Det er også det samme som sandsynligheden for, at A forekommer ganget med sandsynligheden for, at B forekommer, givet at A forekommer, udtrykt som P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA). Det faktum, at disse to udtryk er ens, fører til Bayes' sætning, som er skrevet som
ja, P(NVDA og NDAQ) = P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA) = P(NDAQ) x P(NVDA|NDAQ)
derefter, P(NVDA|NDAQ) = [P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA)] / P(NDAQ). Hvor P(NVDA) og P(NDAQ) er sandsynligheden for, at Nvidia og Nasdaq falder, uanset hinanden. Formlen forklarer forholdet mellem sandsynligheden for hypotesen, før man ser beviset for, at P(NVDA), og sandsynligheden for hypotesen efter opnåelse af beviserne P(NVDA|NDAQ), givet en hypotese for Nvidia givet beviserne i Nasdaq.