CLT er en statistisk antagelse om, at givet en tilstrækkelig stor stikprøvestørrelse fra en population med et begrænset variansniveau, vil middelværdien af alle variabler udtaget fra den samme population være omtrent lig med gennemsnittet af hele populationen. Ifølge den centrale grænsesætning vil middelværdien af en stikprøve af data blive tættere på gennemsnittet af hele den pågældende population, efterhånden som stikprøvestørrelsen stiger, uanset den faktiske fordeling af dataene. Lad os se på, hvad den centrale grænsesætning er, hvad den er til, og dens nøglekomponenter.
Hvad er den centrale grænsesætning (CLT)
I sandsynlighedsteorien siger den centrale grænsesætning (CLT), at fordelingen af en stikprøvevariabel nærmer sig en normalfordeling (dvs. en "klokkekurve"), efterhånden som stikprøvestørrelsen øges, forudsat at alle prøver er identiske i størrelse og uanset faktiske form for befolkningsfordelingen. Med andre ord er CLT en statistisk antagelse om, at givet en tilstrækkelig stor stikprøvestørrelse af en population med et begrænset variansniveau, vil gennemsnittet af alle variabler, der er udtaget fra den samme population, være omtrent lig med gennemsnittet af hele populationen. Ydermere nærmer disse stikprøver sig en normalfordeling, og deres varians er omtrent lig med populationsvariansen, når stikprøvestørrelsen øges, i henhold til loven om store tal. Selvom dette koncept først blev udviklet af Abraham de Moivre i 1733, blev det først formaliseret i 1920, hvor den berømte ungarske matematiker George Pólya kaldte det den centrale grænsesætning.
Formel for den centrale grænsesætning. Kilde: Inchcalculator.com.
Hvad er den centrale grænsesætning (CLT) til?
Ifølge den centrale grænsesætning vil middelværdien af en stikprøve af data blive tættere på gennemsnittet af hele den pågældende population, efterhånden som stikprøvestørrelsen stiger, uanset den faktiske fordeling af dataene. Med andre ord er dataene nøjagtige, uanset om fordelingen er normal eller afvigende. Som hovedregel anses en stikprøvestørrelse mellem 30 og 50 for at være tilstrækkelig til, at CLT kan opfyldes, hvilket betyder, at fordelingen af stikprøvegennemsnit er nogenlunde normal. Derfor, jo flere prøver der tages, jo mere vil resultaterne ligne en normalfordeling. Bemærk dog, at den centrale grænsesætning stadig vil være tilnærmet i mange tilfælde for meget mindre stikprøvestørrelser, såsom n=8 på=5.3
Illustration af den centrale grænsesætning for en biased population af værdier. Kilde: ResearchGate
Nøglekomponenter i den centrale grænsesætning
Den centrale grænsesætning består af flere nøgletræk. Disse karakteristika drejer sig i vid udstrækning om stikprøver, stikprøvestørrelse og datapopulation.
- Prøveudtagning er successiv. Det betyder, at nogle stikprøveenheder er fælles med prøveenheder valgt ved tidligere lejligheder.
- Stikprøven er tilfældig. Alle prøver skal udvælges tilfældigt, så de har samme statistiske chance for at blive udvalgt.
- Prøver skal være uafhængige. Valg eller resultater fra én prøve bør ikke påvirke fremtidige prøver eller resultaterne af andre prøver.
- Prøver skal begrænses. Det siges ofte, at en stikprøve ikke bør overstige 10 % af en population, hvis prøveudtagningen udføres uden erstatning. Generelt retfærdiggør større populationsstørrelser brugen af større stikprøvestørrelser.
- Prøvestørrelsen øges. Den centrale grænsesætning bliver relevant, efterhånden som flere prøver udvælges.